nbrsts.png

Edit v4.000 from 2002-09-27 to 2021-03-23 by KHe+TSc+HSc

Zahlensysteme

Hier erfahren Sie etwas über die Zahlensysteme wie

Kennzeichnung

Tabelle 01: Liste der dezimalen, binären und hexadezimalen Schreibweise von Zahlen.
Dezimal Binär Hexa-
dezimal
  Dezimal Binär Hexa-
dezimal
0D 0000 0000B 00H   16D 0001 0000B 010H
1D 0000 0001B 01H   17D 0001 0001B 011H
2D 0000 0010B 02H   18D 0001 0010B 012H
3D 0000 0011B 03H   19D 0001 0011B 013H
4D 0000 0100B 04H   20D 0001 0100B 014H
5D 0000 0101B 05H   21D 0001 0101B 015H
6D 0000 0110B 06H   22D 0001 0110B 016H
7D 0000 0111B 07H   23D 0001 0111B 017H
8D 0000 1000B 08H   24D 0001 1000B 018H
9D 0000 1001B 09H   25D 0001 1001B 019H
10D 0000 1010B 0AH   26D 0001 1010B 01AH
11D 0000 1011B 0BH   27D 0001 1011B 01BH
12D 0000 1100B 0CH   28D 0001 1100B 01CH
13D 0000 1101B 0DH   29D 0001 1101B 01DH
14D 0000 1110B 0EH   30D 0001 1110B 01EH
15D 0000 1111B 0FH   31D 0001 1111B 01FH
Jede Zahl wird mit einem Suffix versehen.
Wenn nur eine Zahl da steht (also ohne Buchstabe), ist das eine Dezimalzahl.
  • Dual bzw. Binär als Typkennzeichen wird das B verwendet, z.B.: 0101 1100B
  • Dezimal als Typkennzeichen wird das D verwendet, z.B.: 100D
  • Hexadezimal als Typkennzeichen wird das H verwendet, z.B.: 02CH
Nachlesbar in (/105/, S. 69 Vergleich zwischen Zahlensystemen).

Dezimal

Das Dezimalsystem hat die Basis 10 und ist besteht damit aus den Ziffern 0 bis 9.

Dual bzw. Binär

Tabelle 02: Logarithmisches Bandmaß zur Basis 2 und Wertermittlung bei einer binären 16Bit-Zahl
Zahl 1 0 1 1   0 1 0 0   1 0 1 0   1 1 1 1 B H
Position
Potenz
Faktor
215 214 213 212   211 210 29 28   27 26 25 24   23 22 21 20 D
dezimaler
Faktor
                                    1D 01H
2D 02H
4D 04H
8D 08H
16D 10H
32D 20H
64D 40H
128D 80H
256D 01 00H
512D 02 00H
1.024D 04 00H
2.048D 08 00H
4.096D 10 00H
8.192D 20 00H
16.384D 40 00H
32.768D 80 00H
Um auf der Ebene der Maschinensprache arbeiten zu können, sollten wir erst mal wissen, welche Informationen innerhalb des Computers sind. Jeden Tag treffen wir auf irgendwelche Zahlen, die eine bestimmte Form haben. Der Computer rechnet mit einem anderen Zahlensystem als wir Menschen, nämlich mit dem Dualsystem und das besteht aus Bits. Das Dualsystem hat die Basis 2 und besteht aus den Ziffern 0 und 1. Mit 4 Bits, einem Nibbel, kann man eine Zahl zwischen 0 und 15 bilden. Das sind genau die Anzahl von Bits mit denen man den Wert einer hexadezimalen Ziffern beschreiben kann. Zwei Nibbels oder 8 Bits sind ein Byte.
Das verwendete Beispiel einer 16Bitigen Zahl ergibt damit:
Tabelle 10: 16Bitigen Zahl
= 1011 0100 1010 1111B
= 1*32.768 + 1*8.192 + 1*4.096 + 1*1024 + 1*128 + 1*32 +1*8 +1*4 +1*2 +1*1D
= 46.255D

Hexadezimal

Tabelle 08: Logarithmisches Bandmaß zur Basis 16 (Hexadezimal)
Stelle 7. 6.   5. 4.   3. 2.   1. 0.  
Zahl 0 1   0 0   0 0   4 6 H
Position
Potenz
Faktor
167 166   165 164   163 162   161 160  
dezimaler
Faktor
                    Einer
16er
256er
4096er (4kByte'er)
65.536er (64 kByte'er)
1.048.576er (1 Mega'er)
16.777.216er (16 Mega'er)
268.435.456er (256 Mega'er)
Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16 und ist aus dem Wert 0 bis 16. Aber ab dem Wert 10 wird es nicht mehr in Zahlen (0 bis 9), sondern in Buchstaben (A bis F) angegeben: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer. Die Hexadezimalzahl 01 00 00 46H ist Dezimal 16.777.286D.
Tabelle 09: Umrechnung
= 0*167 + 1*166 + 0*165 + 0*164 + 0*163 + 0*162 + 4*161 + 6*160
= 16.777.286D

Umrechnungen zwischen den verschiedenen Zahlensystemen

Umrechnung von Binär in Dezimal und umgekehrt

Wir müßen Dezimalzahlen in Dualzahlen umwandeln, um mit dem Computer zu arbeiten. Wir können aber auch Dualzahlen in Dezimalzahlen umstellen. (/109/, S. 13 Rechnen im Dualsystem)

Tabelle 03: Umwandlung von Binär in Dezimal
= 1001 1110B
= 1 0 0 1 1 1 1 0B
= 1*27 + 0*26 + 0*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20
= 1*128D + 0*64D + 0*32D + 1*16D + 1*8D + 1*4D + 1*2D + 0*1D
= 128D+16D+8D+4D+2D
= 158D

Bei diesem Beispiel ist die Dualzahl 1001 1110B vorhanden. Es wird überlegt, welche Zahl in die Dezimalzahl hinein passt. Danach werden alle Einsen zusammen addiert.


Lösung: 1001 1110B = 128+16+8+4+2=158D

Tabelle 06: Umwandlung von Dezimal in Binär
= 100D
= (1*64) + (1*32) + (0*16) +   (0*8) + (1*4) + (0*2) + (0*1) D
= (1*26) + (1*25) + (0*24) +   (0*23) + (1*22) + (0*21) + (0*20) D
= 1 1 0   0 1 0 0 B

Jetzt ist die Dezimalzahl 100D vorhanden. Man muss rechnen welche Zahlen in die Dezimalzahl hinein passt. Es muss entweder genau die Zahl sein oder eine kleinere Zahl, aber auf keine Fall eine größere Zahl. Dieses Beispiel wird nur bei zweistelligen Zahlen verwendet. Die Rechnung bei Tabelle 05 wird häufiger benutzt.


Lösung: 100D = 64+32+4 = 110 0100B

Umrechnung von Binär in Hexadezimal und umgekehrt

Tabelle 04: Umwandlung von Binär in Hexadezimal
= 1011 1100B
= 16er Halbbyte   1er Halbbyte
= 23 22 21 20   23 22 21 20
= 1 0 1 1   1 1 0 0B
= 1*8 0*4 1*2 1*1   1*8 1*4 0*2 0*1
= 8+2+1=11D=0BH   8+4=12D=0CH
= 0BCH
Hier ist noch einmal eine Dualzahl 1011 1100D vorhanden. Die 8 Bits werden in 2 mal 4 Halbbyte (16er und 1er) geteilt. Anschließend werden alle Einsen als Dezimalzahl dargestellt und danach in Hexadezimal umgerechnet.

Lösung: 1011B = 11D = 0BH , 1100B = 12D = 0CH = 1011 1100B = 0BCH

Tabelle 07: Umwandlung von Hexadezimal in Binär
= D6H
= 16er Halbbyte   1er Halbbyte
= 13   6
= 1*8 1*4 0*2 1*1   0*8 1*4 1*2 0*1
= 8+4+1=13D   4+2=6D
= 1101 0110B
In diesem Beispiel wird die Hexadezimalzahl D6H verwendet. Die 8 Bits werden wieder in Halbbyte (16er und 1er) geteilt. Dann muss man überlegen welche Zahl in die Hexadezimalzahl hinein passt und dies dann hin schreiben.
Lösung:D6H = 8+4+1=13; 4+2=6 = 1101 0110B