Grundrechenarten und Logik mit binären bzw. dualen Zahlen

Tabelle 1a: Binärer Rechenregeln der Dualzahlen für die Grundrechenarten.

Addition	Subtraktion	Multiplikation	Division
0 + 0 = 0	0 - 0 = 0	0 * 0 = 0	0 : 0 = nicht definiert
0 + 1 = 1	0 - 1 = 1 Übertrag -1	0 * 1 = 0	0 : 1 = 0
1 + 0 = 1	1 - 0 = 1	1 * 0 = 0	1 : 0 = nicht definiert
1 + 1 = 0 Übertrag +1	1 - 1 = 0	1 * 1 = 1	1 : 1 = 1

Zu ihnen gehören die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Die Rechenregeln für die Binären lauten:

Ich habe bei jedem folgenden Beispiel nicht nur die Dualzahlen benutzt, sonder auch die Dezimal- und Hexadezimalzahlen. Unsere Beispiele sind so aufgebaut, dass identische Zahlen genommen werden und damit muss das Ergebnis muss vom Wert her, in jeden Zahlenformat dasselbe sein! Je nach dem wie groß der Werteumfang der Ziffern eines Zahlenformat ist (Binär: 2; Dezimal: 10, Hexadezimal: 16) dem entsprechend gibt es weniger Überträge.

Tabelle 1b: Addition von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.

Bezeichnung	Dezimal	Binär	Hexadezimal
1. Summand	37D	0010 0101B	25H
+ 2. Summand	+ 105D	+ 0110 1001B	+ 69H
Übertrag	+ 1D	+ 1    1 B + 1       B
2. Übertrag
= Summenwert (Ergebnis)	= 142D	= 1000 1110B	= 08EH

Summenwert = Summand + Summand

Hier werden folgende zwei Zahlen verwendet:

1. Zahl:  37D = 0010 0101B = 25H und
2. Zahl: 105D = 0110 1001B = 69H.

Überträge sind in unserem Beispiel bei binär 3, dezimal 1 und hexadezimal 0 notwendige, bei den gleichen Zahlenwerten und Zahlenoperation.

Tabelle 1c: Subtraktion von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.

Bezeichnung	Dezimal	Binär	Hexadezimal
Minuend	115D	0111 0011B	73H
− Subtrahend	56D	- 11 1000B	- 38H
Übertrag	- 1D	- 111     B
= Differenzwert (Ergebnis)	= 59D	= 11 1011B	= 03BH

Differenzwert = Minuend − Subtrahend

Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen

1. Zahl: 115D = 0111 0011B = 073H
2. Zahl:  56D = 0011 1000B = 038H

voneinander subtrahiert werden.

Tabelle 1d: Multiplikation von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.

Bezeichnung	Dezimal	Binär	Hexadezimal
Multiplikand	11D	1011B	0BH
* Multiplikator	* 14D	* 1110B	* 0EH
Übertrag	+ 11D  + 44D	+ 1011B    + 1011B   + 1011B	0BH + 0BH + … + 0BH
= Produktwert (Ergebnis)	= 154D	= 10011010B	= 09AH

Produktwert = Multiplikand * Multiplikator

Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen

1. Zahl: 11D = 1011B = 0BH und
2. Zahl: 14D = 1110B = 0EH

miteinander multipliziert werden.

Dabei wird der Multiplikand mit der 1. Ziffer des Multiplikators multipliziert und dann mit der 2. Ziffer usw.. Diese Produkte werden dann zueinander addiert.

Tabelle 1e: Division von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.

Bezeichnung	Dezimal	Binär	Hexadezimal
Dividend	156D	1001 1100B	09CH
: Divisor	: 13D	: 1101B	: 0DH
Übertrag	- 13 = 13*1 ⇒ +1  =  2⇓ +   6 =  26 -  26 = 13*2 ⇒ +2	-    0 = 1101*0 ⇒ 0 = 1001 ⇓ +      1 = 1001 1 -  110 1  =1101*1 ⇒ 1  =  011 0⇓ +       1 =   11 01 -   11 01 = 1101*1 ⇒ 1  =   00 00⇓ +        0⇓ 1101*0 ⇒  0 +         0  1101*0 ⇒  0	- 09CH = 0DH*0CH ⇒ 0CH
= Quotientenwert (Ergebnis)	= 12D	= 0 1100B	= 0CH

Quotientenwert = Dividend : Divisor

Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen

1. Zahl: 156D = 1001 1100B = 09CH und
2. Zahl:  13D = 1101B = 0DH

durcheinander dividiert werden.

Dabei wird im vorderen Teil des Dividenden geschätzt wie oft der Divisor hinein passt. Der Faktor reicht von 0 bis 9 bei den dezimalen und von 0 bis 1 bei den dualen Zahlen und von 0 bis 0FH bei hexadezimalen. Dieses Produkt aus gefundenen Faktor und Divisor wird vom Dividenden abgezogen. Der Faktor selbst ist Teil des gesuchten Ergebnisses.

Die positiven Zahlen werden in normaler, dualer Form mit Vorzeichen dargestellt. Die negierten Zahlen werden durch das Einerkomplement gebildet, d.h. jedes einzelne Bit wird umgekehrt dargestellt (aus 1 wird 0 / aus 0 wird 1).
Nachteile:

• Im Zahlenbereich gibt es immer zwei Nullen, wie zum Beispiel 0000B und das Einerkomplement 1111B.
• Die negierte Zahl ist als Zahlenwert die Differenz zur oberen Null und nicht sofort erkennbar.

Um den Nachteil der zwei Nullen beim Einerkomplement zu beseitigen, wurde das Zweierkomplement eingeführt. Dabei wird nach der Bildung des Einerkomplements, noch eine Eins dazu addiert.
Nachteile:

• Die negierte Zahl ist als Zahlenwert die Differenz zur oberen Null und nicht sofort erkennbar.

Vorteile:

• Die negative Zahl aus dem Zweierkomplement kann zu einer anderen Zahl derselben Größenordnung normal dazu addiert werden, wobei eigentlich eine Subtraktion erfolgt. Als Beispiel soll +17D + (-7D) = +10D dienen.

(/105/, S. 100: Verknüpfungsbausteine)

Es gibt immer zwei Operationen, mit denen die anderen Nachgebildet werden können. Hier könnten das NOR und NAND sein. Weiter Operationen sind UND, OR, NOT, XOR und XNOR.