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Grundrechenarten und Logik mit binären bzw. dualen Zahlen

Logische Operationen wie UND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR und deren Symbole.

Grundrechenarten

Tabelle 1a: Binärer Rechenregeln der Dualzahlen für die Grundrechenarten.
Addition Subtraktion Multiplikation Division
0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 * 0 = 0 0 : 0 = nicht
definiert
0 + 1 = 1 0 - 1 = 1
Übertrag -1
0 * 1 = 0 0 : 1 = 0
1 + 0 = 1 1 - 0 = 1 1 * 0 = 0 1 : 0 = nicht
definiert
1 + 1 = 0
Übertrag +1
1 - 1 = 0 1 * 1 = 1 1 : 1 = 1
Zu ihnen gehören die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Die Rechenregeln für die Binären lauten:

Ich habe bei jedem folgenden Beispiel nicht nur die Dualzahlen benutzt, sonder auch die Dezimal- und Hexadezimalzahlen. Unsere Beispiele sind so aufgebaut, dass identische Zahlen genommen werden und damit muss das Ergebnis muss vom Wert her, in jeden Zahlenformat dasselbe sein! Je nach dem wie groß der Werteumfang der Ziffern eines Zahlenformat ist (Binär: 2; Dezimal: 10, Hexadezimal: 16) dem entsprechend gibt es weniger Überträge.


Addition

Tabelle 1b: Addition von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.
Bezeichnung Dezimal Binär Hexadezimal
1. Summand 37D 0010 0101B 25H
+ 2. Summand + 105D + 0110 1001B + 69H
Übertrag + 1D + 1    1 B
+ 1       B
2. Übertrag
= Summenwert (Ergebnis) = 142D = 1000 1110B = 08EH

Summenwert = Summand + Summand


Hier werden folgende zwei Zahlen verwendet:
  1. Zahl:  37D = 0010 0101B = 25H und
  2. Zahl: 105D = 0110 1001B = 69H.
Überträge sind in unserem Beispiel bei binär 3, dezimal 1 und hexadezimal 0 notwendige, bei den gleichen Zahlenwerten und Zahlenoperation.

Subtraktion

Tabelle 1c: Subtraktion von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.
Bezeichnung Dezimal Binär Hexadezimal
Minuend 115D 0111 0011B 73H
− Subtrahend 56D - 11 1000B - 38H
Übertrag - 1D - 111     B
= Differenzwert (Ergebnis) = 59D = 11 1011B = 03BH

Differenzwert = Minuend − Subtrahend


Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen
  1. Zahl: 115D = 0111 0011B = 073H
  2. Zahl:  56D = 0011 1000B = 038H
voneinander subtrahiert werden.

Multiplikation

Tabelle 1d: Multiplikation von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.
Bezeichnung Dezimal Binär Hexadezimal
Multiplikand 11D       1011B        0BH      
* Multiplikator * 14D * 1110B * 0EH
Übertrag + 11
+ 44D
+ 1011B   
+ 1011B  
+ 1011B 
0BH + 0BH + … + 0BH
= Produktwert (Ergebnis) = 154D = 10011010B = 09AH

Produktwert = Multiplikand * Multiplikator


Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen
  1. Zahl: 11D = 1011B = 0BH und
  2. Zahl: 14D = 1110B = 0EH
miteinander multipliziert werden.

Dabei wird der Multiplikand mit der 1. Ziffer des Multiplikators multipliziert und dann mit der 2. Ziffer usw.. Diese Produkte werden dann zueinander addiert.


Division

Tabelle 1e: Division von zwei Zahlen im Dezimal-, Dual- bzw. Hexadezimalformat.
Bezeichnung Dezimal Binär Hexadezimal
Dividend   156D   1001 1100B   09CH
: Divisor        : 13D              : 1101B        : 0DH
Übertrag - 13 = 13*1 ⇒ +1 
=  2
+   6
=  26
-  26 = 13*2 ⇒ +2 
-    0 = 1101*00
= 1001 ⇓
+      1
= 1001 1
-  110 1  =1101*1 ⇒ 1 
=  011 0⇓
+       1
=   11 01
-   11 01 = 1101*1 ⇒ 1 
=   00 00⇓
+        0⇓ 1101*0 ⇒  0
+         0  1101*0 ⇒  0 
- 09CH = 0DH*0CH ⇒ 0CH
= Quotientenwert (Ergebnis) = 12D = 0 1100B = 0CH

Quotientenwert = Dividend : Divisor


Bei diesem Beispiel sollen die beiden Zahlen
  1. Zahl: 156D = 1001 1100B = 09CH und
  2. Zahl:  13D = 1101B = 0DH
durcheinander dividiert werden.

Dabei wird im vorderen Teil des Dividenden geschätzt wie oft der Divisor hinein passt. Der Faktor reicht von 0 bis 9 bei den dezimalen und von 0 bis 1 bei den dualen Zahlen und von 0 bis 0FH bei hexadezimalen. Dieses Produkt aus gefundenen Faktor und Divisor wird vom Dividenden abgezogen. Der Faktor selbst ist Teil des gesuchten Ergebnisses.

Komplement-Bildung

Ein Komplement (/105/, S. 69: Komplementbildung) ist die Ergänzung der gegebenen Zahl im vorgegebenen Zahlenbereich als ganzen Potenz der Basis. Es gibt zwei verschiedene Typen von den Komplementen, das Einerkomplement (/109/, S. 15: Einerkomplement) und das Zweierkomplement (/109/, S. 16: Zweierkomplement).

Das Einerkomplement

Tabelle 2a: Das Einerkomplement im Zahlenbereich 24=16
von 0…15 bzw. von -7…+7
Ausgangszahl Einerkomplement
+4D = 0 100B 1 011B = -4D bzw. +11D
-6D bzw. +9D = 1 001B 0 110B = +6D

Tabelle 2b: Das Einerkomplement im Zahlenbereich 27=128
von 0…127 bzw. von -63…+63
Ausgangszahl Einerkomplement
+19D = 01 0011B 10 1100B = -19D bzw. 44D
+25D = 01 1001B 10 0110B = -25D bzw. 38D
-5D bzw. +58D = 11 1010B 00 0101B = +5D
Die positiven Zahlen werden in normaler, dualer Form mit Vorzeichen dargestellt. Die negierten Zahlen werden durch das Einerkomplement gebildet, d.h. jedes einzelne Bit wird umgekehrt dargestellt (aus 1 wird 0 / aus 0 wird 1).
Nachteile:
  • Im Zahlenbereich gibt es immer zwei Nullen, wie zum Beispiel 0000B und das Einerkomplement 1111B.
  • Die negierte Zahl ist als Zahlenwert die Differenz zur oberen Null und nicht sofort erkennbar.

Das Zweierkomplement

Tabelle 2c: Das Zweierkomplement im Zahlenbereich 24=16
von 0…15 bzw. von -8…+7
Ausgangszahl Zweierkomplement
+4D = 0 100B 1 100B = -4D bzw. +12D
-7D bzw. +9D = 1 001B 0 111B = +7D

Tabelle 2d: Das Zweierkomplement im Zahlenbereich 27=128
von 0…127 bzw. von -63…+63
Ausgangszahl Zweierkomplement
+19D = 01 0011B 10 1101B = -19D bzw. 45D
+25D = 01 1001B 10 0111B = -25D bzw. 39D
-6D bzw. +58D = 11 1010B 00 0110B = +6D
Um den Nachteil der zwei Nullen beim Einerkomplement zu beseitigen, wurde das Zweierkomplement eingeführt. Dabei wird nach der Bildung des Einerkomplements, noch eine Eins dazu addiert.
Nachteile:
  • Die negierte Zahl ist als Zahlenwert die Differenz zur oberen Null und nicht sofort erkennbar.
Vorteile:
  • Die negative Zahl aus dem Zweierkomplement kann zu einer anderen Zahl derselben Größenordnung normal dazu addiert werden, wobei eigentlich eine Subtraktion erfolgt. Als Beispiel soll +17D + (-7D) = +10D dienen.

Logische Operationen

binaer3a.jpg
Abb. 3a: Verknüpfungsbausteine

(/105/, S. 100: Verknüpfungsbausteine)

Es gibt immer zwei Operationen, mit denen die anderen Nachgebildet werden können. Hier könnten das NOR und NAND sein. Weiter Operationen sind UND, OR, NOT, XOR und XNOR.