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Der elektrische Widerstand

Er ist überall. Er wärmt, er teilt, er hat jedes Mal, wenn Strom fließt die Finger im Spiel. Spieler sollte man einschätzen und berechnen können. Wie das geht, zeigen wir Ihnen hier.

Der Draht oder das Kabel

r01b.png
Abb. 01b: Messung des Durchmessers einer Cu-Datenleitung
Das Kabel hat 3 große Abhängigkeiten. Vom
  • Material,
  • seiner Geometrie und
  • der Temperatur.
(/115/, S. 81 ff.: In der Praxis ...)
Einen Meister der Elektrotechnik (CNi) nach Draht mit Angabe zum Querschnitt und oder Durchmesser gefragt, sagte das bei Datenleitungen der Durchmesser und bei Stromleitungen der Querschnitt angegeben wird. Verständlich da Hochfrequenz die Oberfläche und fließender Strom den Querschnitt benutzt.

Material

Einer der Faktoren für den spezifischen Widerstand ist das Material an sich. Dieser ist abhängig von der Temperatur. Hier einige Beispiele:

Tabelle 01: Spezifischer Widerstand bei 20°C
Material
(Chemisches Symbol)		 Spezifischer Widerstand
Rho ρ in Ω *mm2/m 		Temperaturkoeffizient
Alpha α in pro Grad Celsius (°C)
Aluminium (Al) 0,027.8 +0,003.7
Kupfer (Cu) 0,017.2 +0,003.9
Silber (Ag) 0,016.5 +0,003.6
Platin (Pt) 0,107 +0,003.8
Eisen (Fe) 0,1 +0,004.8
Konstatan 0,5 -0,000.005
Magnesium (Mg) 0,043.5 +0,000.02
Messing 0,075 +0,001.5
Nickelin 0,5 +0,000.2
Quecksilber (Hg) 0,941 +0,000.9

Geometrie

Kabelwiderstand

Aufgabe: Zwischen einer Mini-Telefonanlage und Telefondose im Garten wurde eine handelsübliche Verlegeleitung JY-ST(Y) mit 2x2x0,6mm für Telefone mit einer Länge von 200m gelegt. Wie große ist der Widerstand R?

Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
  1. Der Widerstand R der Leitung, wenn das Signal auf dem einen Draht hin und auf dem anderen zurückgeht.

Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen. Eine Verlegeleitung mit
  • einer Länge l=2.000m;
  • einem Durchmesser von d=00,6mm (Datenleitungen werden mit Durchmesser angegeben)
  • eine Material aus Kupfer mit einen spezifischen Widerstand ρ=0,0172Ω*mm2/m.

Formel:
R = ρ * l/A
  (1)

A=π*d2/4
  (2)
Konstante:
π=3,14159…
Skizze:
r02c.png
Abb. 2c: Kabelrolle mit JY-ST(Y) mit 2x2x0,6mm.
Lösung:
Zu 1.
Gebraucht wird die Fläche der Datenleitung für die Berechnung des Leitungswiderstandes nach Formel (2).
  • A in mm2
  • π * (0,6mm)2/4
  • 0,28mm2

Der Widerstand R der Leitung ergibt sich nach Formel (1) mit
  • Widerstand R in Ω oder V/A der Leitung
  • 0,017.2Ω*mm2/m * 200m / 0,28mm2
  • 12Ω

Antwortsatz: Die Telefonleitung hat einen Widerstand von 12Ω und ist bei dem Abschlusswiderstandwiderstand von 100Ω zu beachten.
Bei einem Strombedarf von 20mA eines passiven Telefons, bedarf es dafür nur eine Spannung von U=12V/A*0,02A=0,4V. Gutes Kupfer!

Temperatur-Sensor

Temperatur eines Ölbades

Aufgabe: Bestimmung der Temperatur eine Ölbades mit Hilfe eines Eisendrahtes der in einer Länge von 20m in einer Sonde aufgewickelt worden ist und einen Durchmesser von d=0,6mm hat. Gemessen wurden 32Ω.

Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
  1. Den Widerstand der Sonde bei 20°C in Ohm.
  2. Die Temperatur des Ölbades in °C.

Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen. Einem Eisendraht, der in einem heißen Ölbad liegt, mit
  • einer Länge l=20m;
  • einem Durchmesser von d=0,6mm.

Formel:

R = ρ * l/A
  (1)
A=π*d2/4
  (2)
R= R0 * (1 + α * Δθ)
  (3)

Konstante:
π=3,14159…
Skizze:
r02d.png
Abb. 2d: Sonde mit 20m Eisendraht.
Lösung:
Zu 1.
Gebraucht wird die Fläche der Eisenleitung für die Berechnung des Leitungswiderstandes bei 20°C nach Formel (2).
  • A in mm2
  • π * (0,6mm)2/4
  • 0,28mm2
Der Widerstand R der Leitung ergibt sich nach Formel (1) mit
  • Widerstand R in Ω oder V/A der Leitung
  • 0,1Ω*mm2/m * 20m / 0,28mm2
  • 7,07Ω bei 20°C
Zu 2.
Die Formel (3) wird nach der Temperaturdifferenz umgestellt.
  • Δθ in Grad
  • (R / R0 -1) / α
  • (32Ω / 17,07Ω - 1) / 0,0048/°
  • 182°

Antwortsatz: Die Temperatur im Ölbad ist 182° über 20°C und damit 202°C heiß.

Der ohmsche Widerstand

Der Widerstand R wird in V/A, bzw. zu Ehren des Entdeckers Ohm in Ω angegeben.

Widerstand und Leistung

Aufgabe: An einen Widerstand liegt eine Spannung von 2V und ihn durchfliest eine Strom von 12mA. Wie sind sein Widerstand und sein Leistungs-Verbrauch.

Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
  1. Den Widerstand des Widerstandes R in Ohm.
  2. Die verbrauchte Leistung P in Watt.

Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen. Am Widerstand bzw. durch ihn
  • liegt eine Spannung U von 2V an;
  • fließt ein Strom I von 12mA hindurch.

Formel:
R = UR / IR
  (4)
PR = UR * IR
  (5)
Skizze:
r01a.png
Abb. 01a: Widerstand mit anliegender Spannung U und hindurch fließenden Strom I.
Lösung:
Zu 1.
Nach Formel (4)
  • Widerstand R in Ω
  • 2V / 12mA
  • 167Ω
zu 2.
Nach Formel (5)
  • Leistungsumsetzung P im Widerstand in W
  • 2V * 12mA
  • 24mW

Antwortsatz: Der Widerstand hat eine Größe von 167Ω und nimmt eine Leistung von 24mW auf.

Reihenschaltung von ohmschen Widerständen

Spannungsteiler

Aufgabe: Aus einer Spannungsquelle wird +9V zur Verfügung gestellt. Diese soll mittels Spannungsteiler mit den zwei Widerständen R1 mit 3,3kΩ und R2 mit 2,7kΩ eine Spannung von +5V zur Verfügung stellen. Wie ist sein Leistungs-Verbrauch ohne Stromabnahme. Welche Spannung kann am Spannungsteiler R1 gegen Masse abgenommen werden und welchem Innenwiderstand hat diese Spannungsquelle?
PS: Der Innenwiderstand der Spannungsquelle 9V hat einen Wert von 0,2Ω!

Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
  1. Der Gesamtwiderstand RGes. in Ohm.
  2. Der Leistungsverbrauch des Spannungsteilers P in Watt.
  3. Die Spannung UR1 am Widerstand R1 gegen Masse in Volt.
  4. Der Innenwiderstand der Spannungsquelle am Widerstand R1 in Ohm.

Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen. Am Widerstand bzw. durch ihn
  • Leerlaufspannung U0 = 9,0V;
  • Innenwiderstand Ri der Spannungsquelle U0 beträgt 0,2Ω;
  • Widerstand R1 = 3,3kΩ und R1 = 2,7kΩ;

Formel:
RGes. = R1 + R2 + … + Ri
  (8)
PR = UR * IR
  (5)
R = UR / IR
  (4)
Ui = UGes. * Ri / RGes.
  (9)
Skizze:
r02a.png
Abb. 2a: Reihenschaltung von zwei Widerständen
Lösung:
Zu 1.
Nach Formel (8)
  • Gesamtwiderstand RGes. in Ω
  • 3,3kΩ + 2,7kΩ +0,5Ω
  • 6,0kΩ
zu 2.
Nach Formel (5)
  • Leistungsumsetzung P im Gesamtwiderstand in W
  • UGes. * I   | (4)
  • UGes. * UGes. / RGes
  • 9,0V * 9,0V / 6,0kΩ
  • 13,5mW
zu 3.
Nach Formel (9)
  • Spannung am Spannungsteiler UR1 in V
  • 9V * 3,3k&Omega/6,0kΩ
  • 4,95V
zu 4.
Der Innenwiderstand setzt sich zusammen aus den Reihenwiderständen bis zum PlusPol Leerlaufspannungsquelle U0. Nach Formel (8) ist dies
  • Ri, Out in kΩ
  • R2 + Ri
  • 2,7kΩ + 0,5Ω
  • 2,7kΩ gerundet.

Antwortsatz: Der Gesamtwiderstand RGes beträgt 6,0kΩ. Der Spannungsteiler verbraucht minimale 13,5mW. Er liefert eine Spannung von UR1 von +4,95V, welches noch in der Toleranz der 5V ±5% liegt. Der Innenwiderstand ist mit 2,7kΩ gegenüber einem Akkumulator ziemlich hochohmig.

Parallelschaltung von ohmschen Widerständen

Stromteiler

Aufgabe: Der Abschlusswiderstand einer 50Ω-Leitung ist wegen Überlastung ausgefallen. Gesucht wird ein Ersatz. Zu Verfügung steht die E12-Reihe

Gesucht: In der Skizze rot unterstrichen.
  1. Ein Abschlusswiderstand mit 50 Ohm.
  2. Der Leistungsaufnahme größer 0,2Watt.

Gegeben: In der Skizze grün unterstrichen.
  • Eine 50 Leitung
  • E12-Reihe mit den Werten 1,0, 1,2, 1,5, 1,8, 2,2, …

Formel:
UGes. = U1 = U2
  (10)
IGes. = I1 + I2
  (11)
1/RGes. = 1/R1 + 1/R2
  (12)
Skizze:
r02b.png
Abb. 2b: Parallelschaltung von zwei Widerständen
Lösung:
Zu 1.
Nach Formel (12) bei der Verwendung von 2 gleichen Widerständen
  • Gesamtwiderstand RGes. = 50Ω
  • (R1 * R2) / (R1 * R2)   | R1 = R2 = R
  • R2 / (2 * R)
  • R / 2   | *2
Umgestellt nach dem Wert des Widerstandes
  • Widerstand R in Ohm
  • 2*RGes.
  • 100Ω
zu 2.
Nach Formel (10) und (11) addiert sich die Aufnehmbare Leistung jedes einzelnen Widerstandes zu einer gesamten Leistungsaufnahme.
  • Leistungsaufnahme PGes. in Watt
  • 2 * PR   | P=1/4W
  • 1/2W

Antwortsatz: Der Abschlusswiderstand von Gesamtwiderstand RGes mit 50Ω kann mit 2 Widerstanden a 100Ω/0,25W aufgebaut werden. Diese kann dann eine Leistung bis zu 1/2W in Wärme umsetzen.

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