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Spulen, Trafos und andere Induktivitäten

Sie windet sich und lässt um sich herum, magnetische Felder fliesen. Zieht Metalle an, aber stößt auch einige ab. Zwei Spulen addiert, können mehr sein als ihre Summe. Wie, das zeigen wir hier.

Die mechanischen Größen

Tabelle 1: Gemessenen geometrischen Maße von Spule 1 und 2.
Meßgröße Spule 1 Spule 2
Wickelkörper- bzw. Innendurchmesser di in mm 16 16
Spulen- bzw. Außendurchmesser da in mm 33 28
Länge der Spule lSpule in mm 26 30
Durchmesser des auf den Spulenkern aufgewickelten Drahtes dDraht in mm 0,27 0,27
Anzahl der Windungen auf der Spule NSpule 2.000 2.000
Gleichstromwiderstand R0 in Ω 43,0 38,1
Die Spule besteht aus einer Reihe von Wicklungen eines Drahtes, mit seinen elektrischen Eigenschaften und seinem Durchmesser dDraht, welcher auf einen Spulenkörper mit dessen geometrischen Maßen aufgebracht worden ist.

Alle Angaben zu der Spule beziehen sich bei den ausführlichen Rechnenbeispielen auf die Spule Nr. 1.

Geometrie

  • Wickelkörperdurchmesser di in mm.
    l01a1.png
    Abb. 1a: Zylinderspule mit Ansicht auf die Stirnseite
    Hier geht man vom Durchmesser di des Zylinders aus, auf dem die Wicklung aufgebracht worden ist. Oftmals ist dies der Kern direkt, deshalb nennt man diesen Durchmesser auch umgangssprachlich Kerndurchmesser. In unserem Beispiel ist das kein Kern, sondern ein Plasterohr mit einen Außendurchmesser, der unseren Wickelkörperdurchmesser mit di=16mm entspricht.
    Frage, wie groß ist die Fläche A in mm2 durch die die magnetische Linien fließen?
    • Fläche A in m2
    • π * (di/2)2)
    • 3,14 * (16mm/2)2
    • 201mm2
    • 201 * 10-6m2
  • Der Durchmesser, welcher erreicht wurde,
    l01b1.png
    Abb. 1b: Zylinderspule mit Ansicht auf die Stirnseite
    nachdem auf den Wickelkörper die Windungen w aufgebracht worden sind, diesen nennt man den äußeren Spulendurchmesser. Bei unserer Spule betrug da=33mm.
    Frage, wieviele Windungen N eines Drahtes übereinander, auch Lagen genannt, mit einem Durchmesser von dDraht=0,27mm, müßte man auf dem inneren Spulendurchmesser di=16mm aufbringen, um den äußeren Spulendurchmesser da=33mm zu erreichen?
    • Windungen NLagen des Drahtes
    • (da - di)/dDraht
    • (33mm - 16mm) / 0,27mm
    • 62 Windungen übereinander!
    Die 62,96 Lagen wurden auf 62 abgerundet, da eine Lage mit dem 0,96fachen Drahtdurchmesser, nur aufwendig zu realisieren ist.
  • Spulenlänge lSpule in mm.
    l01c1.png
    Abb. 1c1: Zylinderspule mit Ansicht von der Seite
    Das ist die Länge lSpule des inneren Zylinders, auf denen die Windungen aufgebracht worden sind. Diese beträgt hier lSpule=26mm. Es ist nicht zu verwechseln mit der Länge des Spulenkörpers!
    Frage, wieviele Windungen N eines Drahtes passen auf die Länge des inneren Zylinders lSpule nebeneinander. NNebeneinander = lSpule/dDraht
    NNebeneinander = 26mm/0,27mm = 96     Auch hier gilt, weniger ist besser als mehr. Die 96,296 Windungen sind 96 auf dem Spulenkörper, da eine Windung mit dem 0,296fachen Drahtdurchmesser, nur aufwendig zu realisieren ist.
  • Der Drahtdurchmesser dDraht in mm. Diese Spule hat einen Draht mit einem Durchmesser von dDraht=0,27mm.
  • Die Anzahl der Windungen. Dafür wird das Symbol N genutzt. Laut Abb. 1c hat diese Zylinderspule praktisch N=2.000 Windungen.
    Frage, Wieviele Windungen wären theoretisch möglich, wenn auf die Spulenlänge lSpule 96 Windungen passen und übereinander 62 Lagen NTheo = NNebeneinander*NLagen
    NTheo = 96*62 = 5.952     D.h. die Spule hat eine Windungsdichte von NPrakt/NTheo = 2.000/5.952 = 33,6%
  • Die Spule hat einen gemessenen Gleichstromwiderstand R0=43Ω.
  • Mit dem Induktivitätsmegerät wurde an der Spule ohne Kern, bzw. mit einem Kern der mit Luft geüllt war, deshalb auch gern Luftspule genannt wird, eine Induktivität von L=45,6mH gemessen.

Elektro-magnetische Kennzahlen

Die magnetische Feldstärke H

Diese in einer Formel zusammengefaßt lautet:
↑H = ↑I*N/l
mit
  • H der magnetischen Feldstärke in A/m.
    Def. "Die positive Feldrichtung des magnetischen Zirkularfeldes eines geraden Leiters und die positive Stromrichtung entsprechen einer Drehrichtung und Fortschreitungsrichtung einer Rechtsschrauben." Zu Deutsch, die Richtung zeigt nach oben, wenn der Strom, von Minus zu Plus, nach vorn fließt.
  • I der Stromstärke, welche durch die Windungen fließt, in Amper.
  • N die Anzahl der Windungen auf dem Spulenkörper.
  • l die Länge des Teils vom Spulenköper, welche mit Windungen bewickelt ist.
Dies gilt, wenn in den von den Windungen umgebenen Kernbereich Vakuum oder Luft sich befindet.
Damit ergibt sich bei einem Strom von I=0,1A eine magnetische Feststärke von
  • H(Spule1)
  • I*N/l
  • 0,1A*2.000/26mm
  • 7.692A/m
H(Spule1) = I*N/l = 0,1A*2.000/26mm = 7.692A/m 7.692 Amper pro Meter und H(Spule2)=6.667A/m.

Die magnetische Feldliniendichte B

Der Vektor der magnetische Feldliniendicht ↑B ergibt sich aus dem Vektor der magnetischen Feldstärke ↑H, multipliziert mit der Induktionskonstanten für die magnetische Permeabilität µ0 im Vakuum und den relativen magnetischen Permeabilität µr des jeweiligen Stoffes. Das bedeutet, beide zeigen in die gleiche Richtung.

↑B = µ0 * µr * ↑H

mit
  • ↑B die magnetischen Felddichte in Vs/m2 in Richtung und Betrag.
  • ↑H der magnetischen Feldstärke in A/m in Richtung und Betrag.
  • µ0 = 4*π * 10-7Vs/(Am), d.h. angegeben in Voltsekunde pro Amper und Meter ist die magnetisch Permeabilität von Vakuum. Die Permeabilität repräsentiert die magnetische Leitfähigkeit.
  • µr die relative Permeabilität. Sie gibt an, um das Wievielfache der Permeabilität sich ändert, wenn sich ein anderes Material als Vakuum bzw. Luft im Kern befindet.
Mit den Werten aus der berecheneten magnetischen Feldstärke ergibt sich eine magnetiche Felddichte in Luft µr=1 von
  • B(Spule1) die magnetischen Feldstärke der Spule 1
  • µ0*µr*H
  • 4*π * 10-7Vs/(Am) * 1 * 7.692A/m
  • 0,009.67Vs/m2= 9,67mVs/m2
Damit hat die magnetische Felddichte der ersten Luftspule einen Wert von 9,67 Milli Voltsekunden pro Quadratmeter und B(Spule2)=8,38mVs/m2

Der magnetische Fluss Φ

Der magnetische Fluss Φ, Phi genannt, ergibt sich aus dem Vektor der Feldstärke multipliziert mit dem Vektor der Fläche.

↑Φ = ↑B * ↑A

mit
  • ↑B die magnetischen Felddichte in Vs/m2 mit Betrag und Richtung.
  • ↑Φ (Phi) der magnetische Fluss in Vs oder Wb=Weber, mit Betrag und Richtung.
  • ↑A die Fläche in m2 mit Betrag und Richtung.
Die Richtung des magnetische Fluss Φ steht senkrecht (Rechte Handregel) auf der von der magenetische Felddicht ↑B und der Flächennormale von ↑A aufgespannten Fläche.
Mit den Werten aus der berecheneten magnetischen Felddichte und der Querschnittsfläche des Kernes ergibt sich eine magneticher Fluss von
  • Φ(Spule1) der magnische Fluss von Spule 1
  • B*A
  • 9,67mVs/m2 * 201mm2
  • 1,94µVs
1,94 Voltsekunden und Φ(Spule2)=1,68µVs

Die Induktivität

Ändert sich der magenetische Fluss um einen Leiter herum, so wird in diesem Leiter eine Spannung induziert. Diese Spannung ist abhänig von der Stärke der Änderung!

UInduktion = dΦ/dt

Ist mehr als ein Leiter, sondern N Leiter ändert sich die Formel in

UInduktion = N*dΦ/dt

Da wir die Geometrie des Leiters (Gerade, Windung, Schleife, Acht, …) nur durch
  • De-/Montage oder
  • durch Raumkrümmung
ändern könnten, und wir dafür lange benötigen (De-/Montage) bzw. z.Z. nicht in der Lage sind (Raumkrümmung) nehmen wir diese als in dem jeweiligen Fall als gegeben und für den jeweiligen Leiter als konstant an. Diese Konstante für den jeweiligen Leiter und seiner Anordung wurde Induktivität L genannt.

UInduktion = L*dI/dt

mit
  • L die Induktivität in Vs/A (Voltsekunde pro Amper) bzw. H (Henry)
  • N die Anzahl der Leiter, um die sich herum der magnetische Flusse pro Zeiteinheit ändert.
  • ↑Φ (Phi) den magnetischen Fluss in Vs oder Wb=Weber mit Betrag und Richtung.
  • dΦ/dt die Änderung des magnetische Flusses pro Zeiteinheit in V.
  • t die Zeit der Änderung in Sekunden.
Frage, wie würde die Induktivtät L für unsere Spule 1 lauten?
  • ↑Φ
  • ↑B * ↑A
  • µ0*µr*↑H * ↑A mit
     ↑H = N/l * ↑I
     ↑A = π * ↑(di/2)2) wenn
    UInduktion = N*dΦ/dt = L*dI/dt
Dann muss
  • L die Induktivtät
  • N * (µ0*µr * N/l) * (π*(di/2)2))
  • 2.000 * (4*π * 10-7Vs/(Am)*1*2.000/26mm) * (π*(16mmi/2)2))
  • 2.000 * 0,0966Vs/(Am2) * 201*10-6
  • 38,8mH
sein, gesprochen als 38,8 Milli Henry und L(Spule 2)=33,7mH.

Permeabilität

Tabelle 2: Die Bereiche der Permeabilität, ihre Bezeichungen und
Materialien.
Bereich Bezeichnung Beispiel
µr=0 ideal diamagnetisch Supraleiter
0≤µr<1 diamagnetisch Wasser, Blei, Zinn, Kupfer
µr=1 neutral Vakuum
µr>1 paramagnetisch Wasserstoff, Luft, Platin, Aluminium
µr>80 ferromagnetisch Kobalt, Eisen
Die Permeabilität, auch magnetische Leitfähigkeit genannt, ist ein Materialfaktor, welcher angibt, wieviel magnetische Feldstärke H bei diesem Material notwendig ist um die geforderte magnetische Felddichte B zu erreichen. Absolute Permeabilität

µ=µ0*µr = ↑B/↑H

in Voltsekunde pro Amper und Meter. Je höher sie ist, um so höher ist die magnetische Flussdichte bei gleicher Feldstärke.
Die relative Permeabilität,

µr=LKern/LLuft

ohne Einheit, d.h. sie ist ein reiner Faktor.
welche angibt, um welchen Faktor sich die Permeabiltät gegenüber Vakuum ändert, wenn man statt Vakuum diesen Stoff einbringt. Sie kann man auch durch Messen der Induktivität mit und ohne Kern ermitteln. Die relative Permeabiltät wird in die 5 Bereiche, laut Tabelle 2, eingeteilt.
Frage, auf das Wievielfache hat sich die Induktivtät L1 für Spule 1 verändert, wenn statt Luft ein Ferritstab als Kern eingeführt wird. Ohne Stab war L1(Luft)=45,6mH und mit L1(Ferritstab)=258mH.
  • µr
  • LKern/LLuft
  • 258mH/45,6mH
  • 5,66
D.h. der Ferritstab verfünfkommasechsfacht die Induktivität der Spule 1.

Zusammenfassung

Tabelle 3: Ermittelte physikalische Größen von Spule 1 und 2.
Physikalische Größe Spule 1 Spule 2
Magnetische Feststärke H in A/m 7.692 6.667
Magnetische Feldliniendichte B in mVs/m2 9,67 9,67
Magneticher Fluss Φ in µVs 1,94 1,68
Induktivität L in mH 38,8 33,7
Durch die bisher aus den geometrischen Formen der Spulen (Tabelle 1) und der durch sie hindurch fließende Strom I=0,1A sind, die in Tabelle 3, aufgelisteten physikalischen Werte berechnet worden.

Kopplungen

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Abb. 3a9: Gerät mit dem
die Induktivität und
der Widerstand gemessen wurde.
Tabelle 4: Gemessenen elektrische Größen
von Spule 1 und 2.
Meßgröße Spule 1 Spule 2
Gleichstromwiderstand R0 in Ω 43,0 38,1
Induktivität L in mH
- ohne und
- mit Kern
45,6
258   
36,3
250   
Relative Permeabilität
µr=LKern/LLuft des Kerns 		5,66 6,89
Das die ge­messenen Werte (Tabelle 4) der Induktivität eine Abweichung=(45,35mH/38,3mH-1)*100%=18,8% bzw. 7,7% von den berechneten Werten haben, liegt an der Geometrie des Objekts und seines Feldlinienverlaufs. Aber es ist ein guter Annäherungswert. Eine Nachjustierung wird durch Veränderung des Kerns oder der Windungszahl erreicht.

Arten der Kopplung

Die Spulen können elektrisch fest miteinander verbunden werden und dies in Parallel- oder Reihenschaltung. Die magnetische Kopplung kann von lose bis fest, und dies in der Ausrichtung des Magnetfeldes Gleich- oder Gegensinnig sein.

Elektrisch gekoppeltes Spulenpaar

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Abb. 3a: Reine elektrische Kopplung zweier Spulen
Rein elektrisch gekoppelte Spulen verhalten sich in Reihen- und Parallelschaltung miteinander wie Widerstände . D.h. bei Reihenschaltung addieren sich die einzelnen Induktivitäten.

Reihenschaltung:
LGes = L1 + L2


Dies auf unsere beiden Spulen mit Kern angewendet, bedeutet bei Reihenschaltung
  • LGes Gesamtinduktivität
  • 258mH+250mH
  • 508mH.
Bei der Parallelschaltung ist die Gesamtinduktivität LGes in ihren Wert kleiner als die kleinste Einzelinduktivitäten von L1 und L2.

Parallelschaltung:
1/LGes = 1/L1 + 1/L2


Dies auf unsere beiden Spulen mit Kern angewendet, bedeutet bei Parallelschaltung
  • 1/LGes
  • 1/258mH+1/250mH
  • 127mH.

Magnetisch gekoppeltes Spulenpaar

Es scheint keine Rolle zu spielen, ob das Magnetfeld in die gleiche Richtung (S−N S−N) fließt oder entgegengesetzt (S−N N−S). Die resultierende Gegeninduktivität hat ihren maximalen Wert, wenn es eine vollständige magnetische Kopplung vorliegt. D.h. der Koppelfaktor k=1 ist.

Gekoppelte Induktivität:

M = k * √(L1*L2) mit 0≤k≤1.

  • M ist die gekoppelte Induktivität in Henry
  • k * √(258mH*250mH)
  • k * 254mH

Für unsere beiden Spulen mit Kern kann sie maximal, bei vollständiger magnetischer Kopplung, 254mH sein. Wie groß sie durch den Koppelfaktor wirklich ist, wird sich durch Messungen am konkreten Beispiel zeigen.

Elektrisch und magnetisch gekoppeltes Paar

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Abb. 3c: Elektrische und magnetische Kopplung zweier Spulen
Die elektrische Kopplung kann in Reihen- oder Parallelschaltung erfolgen, die magnetische Kopplung dagegen von lose bis fest und Gleich- oder Gegengerichtet.

Beispiel

An den in Abb. 2 rot• gekennzeichneten Anschüsse kann elektrischer Energie eingespeist oder entnommen werden.
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Abb. 2: Mögliche Schaltungen zweier Spulen mit
magnetischer und evtl. elektrischer Kopplung
Werden diese Anschüsse an einer Spule, für die Einspeisung von elektrischer Energie benutzt, wird diese Spule als die primäre Spule bezeichnet.
Die Spule an welcher Energie entnommen wird, wird in folgenden sekundäre Spule beizeichnet.
Bei den Spulenschaltungen ist immer die linke Spule die Spule 1 und die rechte Spule die Spule 2. In welcher Art und Weise die Spule 1 und 2 jeweils miteinander gekoppelt sind, wird in folgenden kurz erläutert.
  1. Eine rein magnetisch Kopplung.
    l02a1.png
    Abb. 2a1: Spule 1 magnetisch gekoppelt mit Spule 2
    Wie bei einem Trafo! Die andere Spule war dabei ohne Last, auch im "Leerlauf" genannt. Gemessen wurde 
         L(Spule 1) = 250mH und
     L(Spule 2) = 247mH.
  2. Eine rein magnetisch Kopplung, jedoch ist die sekundäre Spule kurz geschlossen.
    l02a2.png
    Abb. 2a2: Spule 1 magnetisch gekoppelt mit Spule 2
    D.h. an der sekundären Spule ist eine unendlich große Last angeschlossen. Erinnert an einen Kurzschlußläufer in einem Elektromotor. Gemessen wurde 
         L(Spule 1) = 192.
  3. Analog wie im Fall b), nur ist hier räumliche Anordnung getauscht.
    l02a3.png
    Abb. 2a3: Spule 1 ist magnetisch gekoppelt mit
    Spule 2 und bezieht von dieser Energie
    Die primäre Spule ist rechts und die sekundäre Spule ist links angeordnet. Hier kann von der Spule 2 aus die resultierende Iduktivität gemessen werden. Eine praktische Anwendung ist die Induktionsbremse. Gemessen wurde 
         L(Spule 2) = 191.
  4. Die Spulen sind elektrisch und magnetisch gekoppelt.
    l02a4.png
    Abb. 2a4: Spule 1 ist mit Nr. 2 magnetisch
    und elektrisch in Reihe geschaltetet.
    Da sie magnetisch die gleiche Richtung aufweisen, ist die magnetisch Kopplung als miteinander zu verstehen. Elektrisch sind sie in Reihe geschaltet und addieren sich somit. Gemessen wurde 
         L(Spule Gesamt) = 739mH.
  5. Die Spulen sind wie in d) elektrisch und magnetisch gekoppelt.
    l02a5.png
    Abb. 2a5: Spule 1 ist mit Nr. 2 magnetisch
    gegeneinander und elektrisch in Reihe geschaltetet.
    Da die Spulen magnetisch unterschiedliche Richtung aufweisen, ist die magnetisch Kopplung als gegeneinander zu verstehen. Elektrisch sind sie wie in d) in Reihe geschaltet. 
         L(Spule Gesamt) = 255mH.
  6. Die Spulen sind wie in d) elektrisch und magnetisch gekoppelt.
    l02a6.png
    Abb. 2a6: Spule 1 ist mit Nr. 2 magnetisch
    miteinander und elektrisch in Reihe geschaltetet.
    Sie weisen magnetisch die gleiche Richtung auf und damit ist die magnetisch Kopplung ebenfalls als miteinander zu verstehen. Nur die Form der elektrischen Einspeisung ist eine andere. In Abb. 2a4 wird der Strom vorn in Anschluß 1 eingespeist und hinten an Anschluß 4 entnommen. Hier erfolgt die Einspeisung an Anschluß 2 und die Entnahme an Anschluß 3! 
         L(Spule Gesamt) = 746mH.
  7. Die Spulen sind wie in e) elektrisch und magnetisch gekoppelt.
    l02a7.png
    Abb. 2a7:Spule 1 ist mit Nr. 2 magnetisch
    und elektrisch in Reihe geschaltetet.
    Da die Spulen magnetisch unterschiedliche Richtung aufweisen, ist die magnetisch Kopplung als gegeneinander zu verstehen. Elektrisch sind sie wie in e) in Reihe geschaltet. Nur das hier die Spulen spiegelverkehrt angeordnet sind. 
         L(Spule Gesamt) = 249mH.
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