Fachbereich IT/Zahlensysteme

Zahlenformate

Hier wird dargestellt wie man eine Zahl im Speicher ablegt!

Gleitkommazahlen

Vorwort:
Gleitkomma Zahlen sind die Zahlen mit dem der Computer mathematische Operationen durchführt.
Die Standarddarstellung der Gleitkommazahlen ist in der IEE754 geregelt.
Dies war eine Aufgabe aus meinem Eignungstest.

Hier noch eine Erklärung (Legende), was die Farben der Tabellen für die Gleitkommazahl zu bedeuten haben:

Umrechnung von 16,4 in die 32Bit Gleitkomma-Darstellung

Vorzeichen

Mantisse

Exponent

Ab hier geht die Darstellung zwei Wege. Je nach dem ob die sogenannte Normalisierung der Mantisse zur Variante 0, oder zur Variante 1, führen soll. Um die jeweilige Variante zur realisieren, muß das Komma so lange nach rechts (-) oder nach links (+) verschoben werden, bis 0,... bzw. 1,... vorne steht. Das Verschieben um 1 Stelle nach Rechts, vermindert (-), bzw. nach Links, erhöht (+), den Exponenten um Eins.

     1000,0110 ... auf ,1000 0110
     

     1000,0110 ... auf 1,000 0110
     

Die Mantisse ist in beiden Fällen der Normalisierung fast gleich. Die Variante mit dem Ziel 1, hat eine Stelle mehr für die Genauigkeit zur Verfügung. Der Exponent unterscheidet sich ebenfalls, durch um Eins höhere bzw. niedere Potenz, welche sich im Faktor =2 niederschlägt.

Hier greifen zwei Umrechnungen zusätzlich ein, um die Möglichkeiten der Gleitkomma-Darstellung zu verbessern:

1. Exponenten kleiner Null werden dadurch ermöglicht, in dem zu dem ermittelten Wert, in diesem Fall +4D, 127D dazugezählt werden.
   D.h. der mögliche kleinste Exponent kann 2^-127D sein!
   In unserem Beispiel wird dieser zu: 2^127D+4D = 2^131D = 2^{1000 0011B}

2. Die Ungenauigkeit hängt von der Anzahl der Stellen in der Mantisse ab, d.h. bei dieser Art beträgt sie 2^-23D.
   Man kann diese verdoppeln, wenn man vereinbart die generell auftretende führende Stelle 0,1B bzw. 1,0B der Mantisse nicht mit zu notieren und damit allen Stellen der Mantisse die Möglichkeit zu geben, um eine Stelle nach links zu rutschen und damit die Ungenauigkeit auf 2^-24D zu vermindern.

   Damit wird aus: 

   = 0,1	000 0110 0110 0110 0110 011B	Variante 0,
   =	0000 1100 1100 1100 1100 110B
   bzw.
   = 1,	0000 1100 1100 1100 1100 11B	Variante 1,
   =	0000 1100 1100 1100 1100 110B

   Nachteil: Die Zahl NULL gibt es nicht mehr direkt. Sie wird durch den kleinsten Exponenten 1*2^-127D angenähert!

   
   

Ergebnis

Als Ergebnis erhält man die binäre Darstellung der Mantisse, des Vorzeichens und des Exponenten in der Variante 1, und Variante 0, von der dezimalen Zahl 16,4.

31
 S
 0

 0

30              23
 E E E E  E E E E
 1 0 0 0  0 1 0 0
 bzw.
 1 0 0 0  0 0 1 1
    Exponent

22                                                00
 M M M M  M M M M  M M M M  M M M M  M M M M  M M M
 0 0 0 0  1 1 0 0  1 1 0 0  1 1 0 0  1 1 0 0  1 1 0

 0 0 0 0  1 1 0 0  1 1 0 0  1 1 0 0  1 1 0 0  1 1 0
                    Mantisse

 Variante 0,

 Variante 1,

Eine Gleitkommmazahl in eine Dualzahl umrechnen

Gegeben ist die 32Bit-Gleitkommazahl in ihrer binären Darstellung mit 1100 0011 0111 0110 0100 0000 0000 0000B, so wie sie im Speicher bzw. in einer Datei vorliegt.

31
 S
 1

30              23
 E E E E  E E E E
 1 0 0 0  0 1 1 0
    Exponent

22                                                 00
 M M M M   M M M M  M M M M  M M M M  M M M M  M M M
 1 1 1 0   1 1 0 0  1 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0 0  0 0 0
                      Mantisse

Zuerst sind ein paar Umrechnungen nötig.

1. Vorzeichen:

   0B = Positiv (+) 1B = Negativ (-)

2. Als erstes muss man die 0,1B (1/2D) vor die Mantisse setzen.

   = =	1110 1100 1000 0000 0000 000B 0,1111 0110 0100 0000 0000 0000B

3. Nun muss man die Exponenten zurückrechnen. 2^{1000 0110B} = 2^134D

   dieses minus die 127 d.h. 2^134D-127D = 2^7D

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Zahlensysteme

Jede Zahl wird mit einem Suffix versehen.
Wenn nur eine Zahl da steht (also ohne Buchstabe), ist das eine Dezimalzahl.

• Dual bzw. Binär als Typkennzeichen wird das B verwendet, z.B.: 0101 1100B
• Dezimal als Typkennzeichen wird das D verwendet, z.B.: 100D
• Hexadezimal als Typkennzeichen wird das H verwendet, z.B.: 02CH

Dezimal

Das Dezimalsystem hat die Basis 10 und ist besteht damit aus den Ziffern 0 bis 9.

Dual bzw. Binär

Um auf der Ebene der Maschinensprache arbeiten zu können, sollten wir erst mal wissen, welche Informationen innerhalb des Computers sind. Jeden Tag treffen wir auf irgendwelche Zahlen, die eine bestimmte Form haben. Der Computer rechnet mit einem anderen Zahlensystem als wir Menschen, nämlich mit dem Dualsystem und das besteht aus Bits. Das Dualsystem hat die Basis 2 und besteht aus den Ziffern 0 und 1. Mit 4 Bits, einem Nibbel, kann man eine Zahl zwischen 0 und 15 bilden. Das sind genau die Anzahl von Bits mit denen man den Wert einer hexadezimalen Ziffern beschreiben kann. Zwei Nibbels oder 8 Bits sind ein Byte.

Das verwendete Beispiel einer 16Bitigen Zahl ergibt damit:

Hexadezimal

Das Hexadezimalsystem hat die Basis 16 und ist aus dem Wert 0 bis 16. Aber ab dem Wert 10 wird es nicht mehr in Zahlen (0 bis 9), sondern in Buchstaben (A bis F) angegeben: A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.

Um eine Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl umzuwandeln, muss man die einzelnen Ziffern mit der jeweiligen Potenz der Basis multiplizieren. Der Exponent der Basis entspricht der Stelle der Ziffer. Die Hexadezimalzahl 01 00 00 46H ist Dezimal 16.777.286D.

Rechnung:

Umrechnungen zwischen den verschiedenen Zahlensystemen

Umrechnung von Binär in Dezimal und umgekehrt

Wir müßen Dezimalzahlen in Dualzahlen umwandeln, um mit dem Computer zu arbeiten. Wir können aber auch Dualzahlen in Dezimalzahlen umstellen. (/109/, S. 13 Rechnen im Dualsystem)

Bei diesem Beispiel ist die Dualzahl 1001 1110B vorhanden. Es wird überlegt, welche Zahl in die Dezimalzahl hinein passt. Danach werden alle Einsen zusammen addiert.

Lösung: 1001 1110B = 128+16+8+4+2=158D

Jetzt ist die Dezimalzahl 100D vorhanden. Man muss rechnen welche Zahlen in die Dezimalzahl hinein passt. Es muss entweder genau die Zahl sein oder eine kleinere Zahl, aber auf keine Fall eine größere Zahl. Dieses Beispiel wird nur bei zweistelligen Zahlen verwendet. Die Rechnung bei Tabelle 05 wird häufiger benutzt.

Lösung: 100D = 64+32+4 = 110 0100B

Umrechnung von Binär in Hexadezimal und umgekehrt

Hier ist noch einmal eine Dualzahl 1011 1100D vorhanden. Die 8 Bits werden in 2 mal 4 Halbbyte (16er und 1er) geteilt. Anschließend werden alle Einsen als Dezimalzahl dargestellt und danach in Hexadezimal umgerechnet.

Lösung: 1011B = 11D = 0BH , 1100B = 12D = 0CH = 1011 1100B = 0BCH

In diesem Beispiel wird die Hexaldezimalzahl D6H verwendet. Die 8 Bits werden wieder in Halbbyte (16er und 1er) geteilt. Dann muss man überlegen welche Zahl in die Hexadezimalzahl hinein passt und dies dann hin schreiben.

Lösung:D6H = 8+4+1=13; 4+2=6 = 1101 0110B

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